磁铁吸引金属时发生了什么？

当你目睹磁铁吸起一块铁时，你实际上正在见证经典物理学中最深刻的“漏洞（Glitch）”之一。为了理解那块金属为什么会动，我们必须拆毁经典直觉，并利用狄拉克（Dirac）、泡利（Pauli）和海森堡（Heisenberg）的工具来重建物理大厦。

1. 悖论：为什么洛伦兹力是“懒惰”的

在经典电磁学中，一个电荷 $q$ 以速度 $\overrightarrow{v}$ 在磁场 $\overrightarrow{B}$ 中运动时，所受的力由洛伦兹力公式给出：

根据定义，这个力永远垂直于速度方向（$\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}=0$）。由于功率是力做功的速率（$P=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}$），因此磁场力不做功。

然而，当磁铁吸引金属时，金属明明获得了动能。如果磁场力不能做功，到底是什么在拉动金属？答案在于：磁性并非一种纯粹的经典力，而是一种相对论性的量子修正。

2. 死胡同：玻尔-范雷文定理 (Bohr-van Leeuwen Theorem)

在寻找答案之前，我们必须先证明经典物理学根本无法产生磁性。这就是著名的玻尔-范雷文定理。

考虑一个由 $N$ 个电子组成的系统。磁矩 $\overrightarrow{\mu }$ 由电荷的轨道运动定义：

关键在于，$z$ 方向的总磁化强度是广义速度 ${\dot{q}}_i$ 的线性函数：

在电磁场中，系统的哈密顿量（总能量）$H$ 为：

根据哈密顿方程，速度与动量的关系为 ${\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}$。磁化强度的热力学平均值 $⟨M_z⟩$ 由配分函数给出：

让我们聚焦于单项 $a_i{\dot{q}}_i$ 的动量积分。由于 $a_i$ 仅依赖于坐标，我们可以先对动量 $p_i$ 进行积分：

这个积分本质上是对一个全微分的积分。注意到 $\frac{\partial H}{\partial p_i}{e}^{-\beta H}=-\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial p_i}(e^{-\beta H})$（其中 $\beta =1/k_{B}T$），我们可以将其写为：

由于动能项 $\frac{(p-qA{)}^2}{2m}$ 当动量 $p\to \pm \mathrm{\infty }$ 时趋于无穷大，玻尔兹曼因子 $e^{-H/k_{B}T}$ 在边界处趋于零。因此：

结论： $⟨M⟩=0$。物理图像是无情的：虽然磁矢势 $\overrightarrow{A}$ 平移了动量，但由于我们在整个动量空间（从 $-\mathrm{\infty }$ 到 $+\mathrm{\infty }$）上进行积分，这种平移对总积分没有任何贡献。经典物理预言，磁铁是不可能存在的。

3. 超越薛定谔方程

薛定谔方程建立在非相对论能量-动量关系 $E={\overrightarrow{p}}^2/2m$ 之上。如果我们试图通过替换量子算符 $E\to i\hslash {\partial }_t$ 和 $\overrightarrow{p}\to -i\hslash \mathrm{\nabla }$ 来直接使用相对论关系 $E^2=c^2{\overrightarrow{p}}^2+m^2{c}^4$，我们将得到克莱因-戈登方程 (Klein-Gordon Equation)：

这个方程可以用达朗贝尔算符 (d'Alembertian) $◻=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2$ 更紧凑地写出，这是拉普拉斯算符在闵可夫斯基时空中的推广：

然而，当克莱因-戈登方程最初被提出时，它几乎被抛弃了，因为如果像薛定谔方程那样将 $\psi$ 解释为单粒子波函数，会出现两个严重的概念问题。

一方面，相对论能量关系是能量的二次方程，导致两个解：$E=\pm \sqrt{(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2}$。负能量态的存在是个大麻烦。它暗示粒子可以通过跃迁到更低的负能级来持续辐射能量，这意味着物质不存在稳定的基态。

另一方面，量子力学中的波函数用于构建守恒的概率流 $j^{\mu }=(\rho ,\mathbf{j})$。对于薛定谔方程，概率密度 $\rho =|\psi {|}^2$ 总是非负的。而对于克莱因-戈登方程，导出的守恒密度为：

由于方程对时间是二阶的，$\psi$ 和 $\frac{\partial \psi }{\partial t}$ 的初始值可以独立选择。这允许 $\rho$ 在某些条件下为负值，这对于概率密度来说是荒谬的。粒子不可能以“负概率”出现在某处。

可以看出，这些问题源于时间导数的二阶性质。狄拉克（Dirac）的目标是找到一个新方程，它既像薛定谔方程那样对时间是一阶的，又是相对论协变的。自然的方法是构造一个动量的一阶形式，系数待定：

其中 ${\hat{p}}_k=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x_k}$ 是动量算符。对应的波动方程为：

为了使该方程在相对论上自洽，它的任何自由粒子解也必须满足相对论能量关系（即也是克莱因-戈登方程的解）。这要求当我们将狄拉克算符作用两次（“平方”该方程）时，能还原出克莱因-戈登算符：

展开左式（注意 $p_i$ 彼此对易，但系数矩阵 ${\alpha }_i,\beta$ 不一定对易）：

通过对比左右两边的系数，我们得到了对 ${\alpha }_i$ 和 $\beta$ 的代数要求，称为克利福德代数 (Clifford Algebra)：

1. ${\alpha }_i^2=I$
2. ${\beta }^2=I$
3. $\{{\alpha }_i,{\alpha }_j\}=0(i\ne j)$
4. $\{{\alpha }_i,\beta \}=0$

为了让方程在洛伦兹变换下表现得更显式协变，我们定义 Gamma 矩阵 ${\gamma }^{\mu }$：

• ${\gamma }^0=\beta$
• ${\gamma }^i=\beta {\alpha }_i$ ($i=1,2,3$)

代入后得到简洁的协变形式：

利用前面 ${\alpha }_i$ 和 $\beta$ 的性质，我们可以推导出 ${\gamma }^{\mu }$ 的核心性质：

• 对于时间项： $({\gamma }^0{)}^2={\beta }^2=I$
• 对于空间项： $({\gamma }^i{)}^2=(\beta {\alpha }_i)(\beta {\alpha }_i)=-{\beta }^2{\alpha }_i^2=-I$
• 对于混合项 ($\mu \ne \nu$)：
  $\{{\gamma }^0,{\gamma }^i\}=\beta (\beta {\alpha }_i)+(\beta {\alpha }_i)\beta ={\alpha }_i-{\alpha }_i=0$
  $\{{\gamma }^i,{\gamma }^j\}=(\beta {\alpha }_i)(\beta {\alpha }_j)+(\beta {\alpha }_j)(\beta {\alpha }_i)=-{\beta }^2\{{\alpha }_i,{\alpha }_j\}=0$

综合以上结果，Gamma 矩阵满足著名的反对易关系 (Anti-commutation Relation)：

其中 ${\eta }^{\mu \nu }=\text{diag}(1,-1,-1,-1)$ 是闵可夫斯基度规。

满足此代数要求的最小不可约表示是 4 阶矩阵，我们可以通过排除法来推导：

• 1 阶（标量）： 显然不行。标量乘法是对易的，无法满足像 ${\gamma }^0{\gamma }^1=-{\gamma }^1{\gamma }^0$ 这样的反对易关系（除非它们为零，但 ${\gamma }^2=\pm I$ 禁止这样做）。
• 2 阶： 我们可以找到 3 个反对易的矩阵（即泡利矩阵 ${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z$）。但是，我们需要 4 个 反对易矩阵（${\gamma }^0$ 到 ${\gamma }^3$）。
• 3 阶： 由于 $\text{Tr}({\gamma }^{\mu })=0$ 且 ${\gamma }^2=\pm I$，特征值必须成对出现（$+1$ 和 $-1$）。这意味着矩阵的阶数 $n$ 必须是偶数。
• 4 阶： 这是第一个既是偶数，又能容纳 4 个以上反对易矩阵的维度。在 4 阶矩阵空间中，我们可以构造出多达 5 个互相反对易的矩阵（${\gamma }^0,{\gamma }^1,{\gamma }^2,{\gamma }^3$ 以及 ${\gamma }^5$）。

在四阶矩阵中，最常用的是狄拉克表示（Dirac Representation），它使用了 $2\times 2$ 的单位矩阵 $I$ 和泡利矩阵 ${\sigma }_i$：

这是一个深刻的结果：为了得到线性的、相对论性的波动方程，波函数 $\psi$ 被迫必须具有四个分量。我们现在知道，这分别描述了电子（自旋上/下）和它的反粒子——正电子（自旋上/下）。狄拉克试图解决负概率问题，却意外地打开了通往自旋的大门。这说明磁性不是物质的附加属性，而是时空对称性的必然结果。

4. 耦合电磁场

现在我们考虑存在电磁势 $A^{\mu }=(\mathrm{\Phi }/c,\overrightarrow{A})$ 的情况。我们需要在狄拉克方程中进行局部规范变换。动量替换： 将动量 $\overrightarrow{p}$ 替换为动力学动量（Kinetic Momentum）：$\overrightarrow{p}\to \overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A}$，其中 $\overrightarrow{A}$ 是磁矢势。能量替换： 将能量算符 $i\hslash \frac{\partial }{\partial t}$ 替换为：$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\to i\hslash \frac{\partial }{\partial t}-q\mathrm{\Phi }$，其中 $\mathrm{\Phi }$ 是电标势。最终得到的方程为：

为了更直观地处理四维时空，我们通常将其写成协变形式。引入 Gamma 矩阵定义：${\gamma }^0=\beta ,{\gamma }^i=\beta {\alpha }_i$。结合四维动量算符 $p_{\mu }=i\hslash {\partial }_{\mu }=(i\hslash \frac{1}{c}{\partial }_t,-i\hslash \mathrm{\nabla })$ 和四维势 $A_{\mu }=(\mathrm{\Phi }/c,-\overrightarrow{A})$，方程整理为：

再利用协变导数 $D_{\mu }={\partial }_{\mu }+\frac{iq}{\hslash }{A}_{\mu }$，可以写成极简形式：

我们现在希望求解这个四分量旋量方程。Gamma 矩阵的简单分块形式使得我们可以把四分量两两分组。同时，因为在非相对论极限下，静止能量 $m{c}^2$ 是主导项，我们将波函数写成“大分量” $\varphi$ 和“小分量” $\chi$ 的组合（均为 2 分量旋量），并显式提取出静能随时间的演化项：

对左边的时间导数项应用乘法法则：

代入狄拉克方程，并使用狄拉克标准表示下的矩阵形式，方程两边消去指数项，得到：

其中 $\overrightarrow{\pi }=\overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A}$ 是动力学动量。我们将上式分解成两行耦合方程：

在非相对论极限下，电子的动能和势能远小于静能，即 $|i\hslash {\partial }_t\chi |\ll |2m{c}^2\chi |$ 且 $|q\mathrm{\Phi }\chi |\ll |2m{c}^2\chi |$。于是小分量方程近似为：

这说明了为什么 $\chi$ 被称为“小分量”：它的大小约为大分量的 $v/c$ 倍。将 $\chi$ 的表达式代回大分量方程：

这是自旋出现的关键点。利用泡利矩阵恒等式 $(\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{A})(\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{B})=\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}+i\overrightarrow{\sigma }\cdot (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})$：

计算算符叉乘 $\overrightarrow{\pi }\times \overrightarrow{\pi }$（作用于测试函数 $f$）：

其中 $\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{p}=0$ 且 $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{A}=0$。剩余项为：

因此：

最终我们完整推导出了包含塞曼项（Zeeman term）$U=-\overrightarrow{\mu }\cdot \overrightarrow{B}$ 的泡利方程 (Pauli Equation)：

显然其哈密顿量中多了最后一项：

这就是自旋的由来。如果我们没有引入矩阵 $\overrightarrow{\sigma }$（即自旋为 0 的克莱因-戈登情况），那么算符项就是简单的 ${\overrightarrow{\pi }}^2$，这一项不会产生与磁场 $\overrightarrow{B}$ 的线性耦合，会退化到正常的无自旋时的电磁耦合哈密顿量 $H_{Spin-0}=\frac{(\overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A}{)}^2}{2m}+q\mathrm{\Phi }$。正是因为电子波函数的相对论协变性要求它必须有矩阵结构，才导致了 $\overrightarrow{\pi }$ 的不相容性被转化为磁能项。简单来说：引入 $\overrightarrow{\sigma }$ 矩阵是为了在数学上给粒子增加一个“内部转动轴”；如果不引入，粒子就是一个在空间中彻底“各向同性”的质点。它定义了算符的不对易性，在自旋为 0 的世界里，动量的三个分量 ${\pi }_x,{\pi }_y,{\pi }_z$ 虽然在磁场下不对易，但它们的作用是“外部”的（改变粒子的轨道），引入 $\overrightarrow{\sigma }$ 矩阵后，它把这种动量的不对易性（磁场强度 $\overrightarrow{B}$）直接耦合到了波函数的内部维度上。

5. SU2 and SO3 之间的万有覆盖

以上我们已经从动力学（Dynamics）层面看到了自旋的“涌现”。但是自旋作为一种内秉性质，按理讲应该是无需借助外界电磁场来体现的，本质上它应该与对称性与变换有所关联所以才会存在。为什么波函数必须由 $\overrightarrow{\sigma }$ 矩阵来操作？为什么它是二分量的旋量？这需要我们深入到运动学（Kinematics）的底层——即时空对称性的群论基础。即使不考虑电磁场，电子作为一个物理对象，当我们把实验室的坐标系旋转一个角度 $\theta$ 时，它的波函数 $\psi$ 必然会发生改变。正是这种“旋转下的变换规则”定义了自旋。在进入物理之前，我们先简要介绍一下最重要的 SU2 与 SO3 群，他们属于李群，在物理中占有极其重要的地位。

SU2 的基本定义是：

若采用实参数 $x_i\in \mathbb{R}$，令 $a=x_4+i{x}_3,b=x_2+i{x}_1$ 来描述：

则约束条件变为 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1$ 说明 SU2 作为流形是 $S^3$，一个三维球面，属于超球面，其 $T^2$-fibration 描述为：

这可以用两个反向圆锥面 $\chi ,\phi$ 与一根轴描述 $\theta$, 在 $\theta =0$ 或 $\theta =\pi /2$ 时会有一个参数失效。也可以用一个中间会随着 $\theta$ 放缩于端点处使某参数失效的甜甜圈来描述，$\theta =0$ 时甜甜圈就是一个无宽度圆，只有 $\chi$ 沿着圆有效，$\phi$ 因为圆没有宽度而失效，而 $\theta =\pi /2$ 时甜甜圈变成了一个球，不再有空洞，所以 $\chi$ 失效，只有 $\phi$ 生效。

球坐标系描述为：

SU2 还可以由 Pauli 矩阵表达：

进一步结合球坐标有：

SO3 的基本定义是：

SO3 很直观，就是我们看得见摸得着的旋转操作。作为流形，SO3 可以看作是 $\overrightarrow{\omega }$ 端点构成的半径为 $\pi$ 且对径认同的实心球，其抽象就在于对径认同，虽然其来源与绕固定轴逆时针转 180 度和顺时针转 180 度是一样的这样一个简单事实，但是对径认同导致了这个实心球虽然是一个连通流形但不是一个单连通流形，即空间内任意一条闭合曲线（环路）都能连续地收缩到一个点。对径认同的实心球有它的名字, 叫三维实射影空间 (real projective space), 记作 $\mathbb{R}{P}^3$。

数学上，群 $G$ 在向量空间 $V$ 上的表示，是一个从群 $G$ 到一般线性群 $GL(V)$（即 $V$ 上所有可逆变换构成的群）的同态映射 $\mathrm{\forall }{g}_1,g_2\in G,D(g_1{g}_2)=D(g_1)D(g_2)$，对于李群来讲还要求映射连续。而射影表示则是因为在量子力学中，物理状态由希尔伯特空间中的射线（Ray）描述，即 $|\psi ⟩$ 和 $e^{i\alpha }|\psi ⟩$ 代表同一物理状态。因此，群的乘法法则只需要在“相差一个相位因子”的意义下成立：

其中 $\omega (g_1,g_2)$ 是一个模为 1 的复数（相位因子）称为群指数（group exponent）。Bargmann定理（1954）为射影表示提供了严格的数学框架：对于满足 $H^2(\mathfrak{g},\mathbb{R})=0$ 的李群 $G$（包括 SO3 和 Lorentz 群），其所有连续射影酉表示均可"提升"为某个中心扩张群 $\tilde{G}$ 的普通酉表示。对于 $SO(3)$ 这种通过简单的“相位消除”无法变成普通表示的情况，我们可以通过寻找它的万有覆盖群 $SU(2)$，将 $SO(3)$ 的射影表示转化为 $SU(2)$ 的普通表示。

这里引入的万有覆盖群的概念点出了 SO3 和 SU2 深刻的联系。在拓扑学中，一个空间 $X$ 的万有覆盖空间 $\tilde{X}$ 就像是它的“升级版”，具有两个核心特征：单连通性： $\tilde{X}$ 里面所有的圈都能缩成一个点（没有拓扑洞）。局部一致性： 在局部区域，$\tilde{X}$ 看起来和 $X$ 一模一样，但从整体上看，$\tilde{X}$ 往往比 $X$ 更“大”，并以 $n:1$ 的方式覆盖在 $X$ 上。

为什么 $SU(2)$ 的矩阵能产生 $SO(3)$ 的旋转？这里给出一个经典的构造方法。我们把三维空间中的向量 $\mathbf{x}=(x,y,z)$ 映射为一个二阶无迹厄米矩阵 $X$：

（其中 ${\sigma }_i$ 是泡利矩阵）。注意，$det(X)=-(x^2+y^2+z^2)=-\parallel \mathbf{x}{\parallel }^2$。让 $SU(2)$ 中的矩阵 $U$ 通过以下方式作用在 $X$ 上：$X^{\prime }=UX{U}^{†}$。由于 $U$ 是幺正的且行列式为 1，这个变换保持了 $X$ 的无迹性和厄米性，并且保持了行列式不变：$det(X^{\prime })=det(UX{U}^{†})=det(X)$。这意味着 $\parallel {\mathbf{x}}^{\prime }{\parallel }^2=\parallel \mathbf{x}{\parallel }^2$，即这个变换保持了向量的长度，因此它描述的是一个三维旋转。观察变换公式 $X^{\prime }=UX{U}^{†}$。如果你把 $U$ 换成 $-U$：$(-U)X(-U{)}^{†}=(-1{)}^{2}UX{U}^{†}=UX{U}^{†}$ 会发现 $U$ 和 $-U$ 产生了完全相同的旋转效果。这就是 $2:1$ 覆盖的代数根源，每一个 $SO(3)$ 中的旋转，在 $SU(2)$ 中都有两个点对应。这解释了为什么旋转 $2\pi$ 回不到原点（在 $SU(2)$ 中只跑了半圈），而旋转 $4\pi$ 才能回到原点（在 $SU(2)$ 中跑了一整圈）。。也就是说，$SO(3)$ 本身是有“洞”的（它的基本群是 ${\mathbb{Z}}_2$），而$SU(2)$（即 $S^3$）是单连通的（基本群为 $0$），没有任何拓扑洞。

而万有覆盖中的第二个条件局部一致则引出了 SU2 和 SO3 的另一大特点，在单位元附近是局部同构的，意思就是：如果你只看“无穷小”的旋转，或者只看旋转一点点的情况，这两个群是完全一模一样的，没有任何区别。只有当你转了很大一圈（比如转了 $2\pi$）去探索群的“全貌”时，你才会发现它们其实不一样（一个回到了起点，另一个到了 $-I$）。从数学上严格来讲，是因为它们拥有完全相同的李代数（Lie Algebra），即单位元的切空间同构：$\mathfrak{su}(2)\cong \mathfrak{so}(3)$。在求解薛定谔方程的过程中我们知道 SO3 的 3 个生成元是 $J_x,J_y,J_z$（对应绕 x, y, z 轴的微小旋转），它们的对易关系（Commutation Relation）是：$[J_i,J_j]=i{ϵ}_{ijk}{J}_k$，这是定义三维旋转本质的公式，所谓生成元也就是李代数的一个基底。

而对于 SU2 群，我们现在来求解其生成元。假设一个微小的变换：

还需要属于 SU2，那么有幺正性约束： $(I+iϵS^{†})(I-iϵS)=I⟹I-iϵ(S-S^{†})=I⟹S=S^{†}$，$S$ 必须是厄米矩阵，物理上可观测。还有特殊性约束：利用公式 $det(e^A)=e^{\text{Tr}(A)}$。 $det(U)=det(e^{-iϵS})=e^{-iϵ\text{Tr}(S)}=1⟹\text{Tr}(S)=0$ 则 $S$ 必须是无迹矩阵。符合条件的正好就是 Pauli matrices，${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z$ 构成了 $SU(2)$ 李代数 $\mathfrak{su}(2)$ 的一组完备基底。所以，生成元 $S$ 必然正比于 $\sigma$，而 $[{\sigma }_i,{\sigma }_j]=2i{ϵ}_{ijk}{\sigma }_k$，我们会发现这与 $[L_i,L_j]=i{ϵ}_{ijk}{L}_k$ 就差了一个系数 $\frac{1}{2}$，这就已经说明 SU2 和 SO3 的李代数同构了，而如果如果取 $S=\frac{1}{2}\sigma$，则可以变成标准的 $[S_i,S_j]=i{ϵ}_{ijk}{S}_k$ 与 $J$ 的对易关系完全相同，这样我们会获得一个自恰的角动量理论，物理世界里存在总角动量 $L=J+S$。如果自旋 $S$ 想要有资格被称为“角动量”，并且能和 $J$ 加在一起构成一个守恒量，那么 $S$ 必须遵循和 $J$ 一模一样的代数规则，而轨道角动量 $J=\mathbf{r}\times \mathbf{p}$ 是由空间坐标定义的，它的对易关系是没得选的（由 $x$ 和 $p$ 的对易关系推导出来），所以只能让 $S=\frac{1}{2}\sigma$。除了理论上的自洽，现实世界的实验结果也是这样，当我们去做施特恩-格拉赫实验（Stern-Gerlach Experiment）时，我们测量电子在磁场中的偏转，测量到的物理值是 $\pm \frac{1}{2}\hslash$。这就直接证明了，代表物理观测量的算符 $S$，它的特征值必须是 $\pm 1/2$。 而在数学上，只有矩阵 $\frac{1}{2}{\sigma }_z$ 的特征值才是 $\pm 1/2$（因为 ${\sigma }_z$ 的特征值是 $\pm 1$）。

回到表示，对于李群来说，生成元的一个很好的性质是，任意有限变换 $D(\theta )$ 都可以由生成元 $J$ 通过指数映射得到。如果 $J$ 是李代数 $\mathfrak{g}$ 的元素，那么群中的元素可以写成：

这里的 $\mathbf{J}$ 就是我们前面讨论的角动量算符（矩阵）。注意这个式子涉及到了物理学符号中一种常见的“混用”或者说“简写”。严格数学上，指数映射 $\exp$ 将抽象的李代数元素映射为抽象的李群元素。 但是，物理公式 $D(\theta )=\exp (-i\theta \mathbf{n}\cdot \mathbf{J})$ 实际上是在表示空间（矩阵空间）内部进行的操作。这里的 $\mathbf{J}$ 已经是生成元的矩阵表示，所以算出来的结果 $D(\theta )$ 自然就是群元素的矩阵表示。

不管我们是在处理 $SO(3)$ 还是 $SU(2)$，它们的李代数是同构的。这意味着它们共享同一套生成元对易关系：$[J_i,J_j]=i{ϵ}_{ijk}{J}_k$（这里取 $\hslash =1$）。我们要寻找这套代数规则允许的所有有限维不可约表示。定义阶梯算符：

引入 $J_z$ 的本征态 $|j,m⟩$，使得：

计算对易子：

这意味着 $J_{\pm }$ 是本征值的“升降梯”：

如果 $m$ 是特征值，那么 $m\pm 1$ 也是特征值。但是因为我们寻找的是有限维表示，特征值谱必须有上界 $m_{max}$ 和下界 $m_{min}$。

利用算符恒等式 $J_{-}{J}_{+}={\mathbf{J}}^2-J_z^2-J_z$，作用在最高权态 $|j,m_{max}⟩$ 上：

为了方便，我们将最大权重标记为 $j$，即 $m_{max}\equiv j$。所以 Casimir 算符的特征值为 $j(j+1)$。同理，利用 $J_{+}{J}_{-}={\mathbf{J}}^2-J_z^2+J_z$ 作用在最低权态 $|j,m_{min}⟩$ 上：

解方程 $m_{min}^2-m_{min}-j(j+1)=0$，得到两个解：

因为 $m_{min}\le m_{max}=j$，所以只能取 $m_{min}=-j$。从 $m_{min}=-j$ 爬升到 $m_{max}=j$，每次加 1，必须经过整数步 $k$ 才能到达：

我们获得了结论，仅凭李代数结构，允许的 $j$ 值为 $0,1/2,1,3/2,2\cdots$。但是李代数结构只是局部性质，现在我们要把这些结果放回全局群结构中去检验。检验的核心标准是单值性： 如果我们把群元素沿着一条闭合路径转一圈回到起点（单位元），它的表示矩阵必须也回到单位矩阵（对于普通表示）。$SO(3)$ 是三维空间中的旋转群，绕任意轴（设为 $z$ 轴）旋转 $2\pi$（${360}^{\circ }$），物理空间完全复原：$R_z(2\pi )=R_z(0)=\mathbf{1}$ 这是群单位元。而对于 $SO(3)$ 的普通表示 $D$，必须满足：$D(R_z(2\pi ))=D(\mathbf{1})=I$ 这是单位矩阵。代入李代数导出的公式，在 $z$ 轴基底下，$J_z$ 是对角的，对角元为 $m$：$D(2\pi )=\exp (-i2\pi J_z)=\text{diag}(e^{-i2\pi m},\dots )$，要让这个矩阵等于单位阵 $I$，必须每一个对角元都等于 1：$e^{-i2\pi m}=1⟹m\in \mathbb{Z}$，如果 $j$ 是整数（$0,1,\dots$），则 $m$ 是整数，条件满足，而如果 $j$ 是半整数（$1/2,3/2,\dots$），则 $m$ 是半整数，$e^{-i2\pi m}=-1\ne 1$。 因此，$SO(3)$ 的普通表示中，严格禁止半整数自旋。

但是 $SU(2)$ 的几何结构与 $SO(3)$ 不同。它是 $SO(3)$ 的万有覆盖群（2:1 覆盖）。 在 $SU(2)$ 中，参数 $\theta =2\pi$ 对应的群元素不是单位元，而是 $U(2\pi )=-I\ne I$，只有旋转 $4\pi$ 才是单位元。我们会发现 $D(2\pi )$ 的行为完美匹配了 $SU(2)$ 群本身的行为，我们实际上获得了 Bargmann 定理在 SO3 和 SU2 上的实例，SO3 非单连通李群的射影表示等价于其万有覆盖群 SU2 的普通表示，最终的映射关系表为：

“自旋”之所以能从这套抽象的数学结构中“涌现”出来，是因为量子力学对“物理状态”的定义比经典力学更宽容，从而释放了被经典物理屏蔽掉的拓扑自由度。

• 对称性（根源）： 宇宙具有旋转对称性，这导致了李代数 $\mathfrak{so}(3)\cong \mathfrak{su}(2)$ 的存在。
• 量子化（契机）： 概率波的特性允许“射影表示”，使得李代数中被经典物理禁用的“半整数部分”得以存活。
• 内禀化（成型）： 这些存活下来的半整数表示无法对应任何空间运动，因此只能被解释为粒子与生俱来的内禀角动量。

现在我们具体计算一下不同的 $j$ 的表示是什么。我们要利用指数映射

其中 $\hat{n}$ 是旋转轴单位向量，$\theta$ 是旋转角。

最简单的，$j=0$ 标量表示，维数只有 $d=2(0)+1=1$ 维，基底只有一个态 $|0,0⟩$，生成元因为 $m$ 只能取 0，所以 $J_z=[0]$。 升降算符作用在最高/最低权态上都是 0，所以 $J_{+}=[0],J_{-}=[0]$，所以 $J_x=0,J_y=0,J_z=0$。指数映射得到表示 $D(\theta )=e^{-i\theta \mathbf{n}\cdot \mathbf{0}}=1$，也称为平凡表示。这就是标量，不管怎么旋转，数值永远乘以 1，保持不变。

当 $j=\frac{1}{2}$，维数为 $2j+1=2$。我们已经知道生成元为 $\mathbf{J}=\frac{1}{2}\sigma ⟹\hat{n}\cdot \mathbf{J}=\frac{1}{2}(\hat{n}\cdot \sigma )$，为了计算 $(\hat{n}\cdot \mathbf{J})$ 的高次幂。 回顾泡利矩阵性质：$(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }{)}^2=I$（单位阵）。 因此生成元的幂次规律为：

其通项公式为：

于是做级数求和，将指数级数拆分为偶数部分和奇数部分：

偶数项系数：$\sum \frac{(-1{)}^m}{(2m)!}(\frac{\theta }{2}{)}^{2m}=\cos (\frac{\theta }{2})$。奇数项系数：$-i\sum \frac{(-1{)}^m}{(2m+1)!}(\frac{\theta }{2}{)}^{2m+1}=-i\sin (\frac{\theta }{2})$。最终得到：

这就是 $j=1/2$ 的表示。它把旋转操作映射到了 $2\times 2$ 复矩阵。检验 $2\pi$： 代入 $\theta =2\pi$，$\cos (\pi )=-1,\sin (\pi )=0$。结果是 $-I$。

当 $j=1$，维数为 $2j+1=3$。我们需要 $3\times 3$ 的矩阵。在物理学定义的角动量基底（笛卡尔基底）下，生成元满足 $(J_k{)}_{ab}=-i{ϵ}_{kab}$。例如绕 $z$ 轴旋转的生成元 $J_z$：

对于任意轴 $\hat{n}$，令矩阵 $K=\hat{n}\cdot \mathbf{J}$。直接计算 $J_z$ 的幂（其他方向同理）：

发现规律，对于 $j=1$ 的生成元，满足特征方程 $(\hat{n}\cdot \mathbf{J}{)}^3=(\hat{n}\cdot \mathbf{J})$。这意味着：奇数项 ($k=1,3,5\dots$)：$(\hat{n}\cdot \mathbf{J}{)}^k=(\hat{n}\cdot \mathbf{J})$，偶数项 ($k=2,4,6\dots$)：$(\hat{n}\cdot \mathbf{J}{)}^k=(\hat{n}\cdot \mathbf{J}{)}^2$，$k=0$ 项：$I$ (单位阵)。同样展开泰勒级数，但这次要把 $I$ 单独拿出来，因为 $J^2\ne I$。

奇数项系数：$-i(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\dots )=-i\sin \theta$，偶数项系数：$(\frac{-{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\dots )=\cos \theta -1$。结果：

这就是 $j=1$ 的表示（物理学形式的罗德里格斯旋转公式）。它把旋转操作映射到了 $3\times 3$ 实矩阵（虽然 $J$ 包含 $i$，但 $i\cdot J$ 是实矩阵）。检验 $2\pi$： 代入 $\theta =2\pi$，$\sin (2\pi )=0,\cos (2\pi )=1$，$D^{(1)}=I-0+(1-1)(\dots )=I$。

一般地，我们可以建立所有 $j$ 的生成元和表示。所有 $j$ 的生成元构建都依赖于量子力学中角动量算符的三个核心矩阵元公式。只要有这三个公式，我们就能写出 $j=0,3/2,2$ 甚至 $j=100$ 的矩阵。首先 $J_z$ 是对角矩阵：

然后 $J_{+}$ (升算符) 是次对角矩阵：

$J_{-}$ (降算符) 是下次对角矩阵： 它是 $J_{+}$ 的转置（实数情况下）。而 $J_x$ 和 $J_y$ 由 $J_{\pm }$ 组合而成：