量子计算（二）：测量、协议，与线路模型

两篇中的第（二）篇，也是终章。在第（一）篇里，我们搭起了基础：可逆的（幺正的）动力学、布洛赫球上的量子比特、那几个标准门，以及两个量子比特能共享的纠缠。我们刻意留下了一个操作没讲——那个把整套量子机器变成经典答案的操作：测量。我们正是从这里接着往下走，而它是开启其余一切的钥匙。

到目前为止，我们整个故事都是可逆的。每一个门都是一个你能撤销的幺正算符；什么都没丢过。可是一个永远给不出可读答案的计算是没用的，而读出答案意味着测量——这是唯一一个时刻，平滑、可逆的量子世界，让位给一个概率性的、不可逆的经典结果。这是整门学科里最反直觉的一条公设，所以我们慢慢来：先把语言铺好，然后再看那些惊人的回报从中掉出来。

1. 量子测量

量子测量，是从一个量子态中提取经典信息的过程。

1.1 标准正交基

在能说测量做了什么之前，我们得先说清楚我们是对着什么测量。答案是：一组基的选择——一组互相垂直、长度为一的方向，把状态沿着它们分解开。标准正交基是一组向量 \(\{|\varphi_i\rangle\}\)，它们的内积满足：

单量子比特系统的例子：

• 计算基：\(\{|0\rangle, |1\rangle\}\)
• 阿达马基：\(\{|+\rangle, |-\rangle\}\)，其中：
  • \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\)
  • \(|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)\)

对于一个双量子比特系统，基扩展为 \(\{|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle\}\)。

这里要紧、却又极容易一滑而过的一点是：基是我们选的。同一个物理状态，对着计算基测、还是对着阿达马基测，我们会得到不同的统计。并不存在唯一一个享有特权的”量子比特究竟是什么”；只存在它相对于我们所问的问题是什么。

1.2 测量公设

现在我们可以把规则精确地说出来了。设 \(B=\{|\varphi_i\rangle\}\) 是一组标准正交基。若系统处于状态 \(|\psi\rangle = \sum_i a_i |\varphi_i\rangle\)：

1. 输出"\(i\)"以概率 \(Pr(i) = |a_i|^2\) 出现。
2. 测量把系统坍缩到状态 \(|\varphi_i\rangle\)。

请留意，这一下要我们吞下的东西有多少。结果是随机的——与幺正演化的确定性彻底决裂。概率是振幅模的平方，而这总算解释了第（一）篇为什么坚持那些振幅要归一化：它们一直都是蓄势待发的概率。而”看”这个动作本身，改变了被看的对象，把叠加”啪”地一下压到单个基向量上。第二点，正是我们整个系列一直推迟的那个不可逆步骤。

重要提示：全局相位无关紧要，因为 \(|a_i|^2 = |e^{i\theta} a_i|^2\)。

例子：在 \(\{|+\rangle, |-\rangle\}\) 基下测量 \(|\psi\rangle = \frac{1}{2}|0\rangle + \frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle\)：

• \(\langle + | \psi \rangle = \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)，所以 \(Pr(+) = |\langle + | \psi \rangle|^2 = \frac{2+\sqrt{3}}{4}\)。
• \(\langle - | \psi \rangle = \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)，所以 \(Pr(-) = \frac{2-\sqrt{3}}{4}\)。

一旦你信了它，这个配方就是机械的：要算某个结果的概率，就用内积把状态投影到那个基向量上，再取模的平方。这个例子不过是把这个配方跑了两遍，而作为一次检验，两个概率乖乖地加起来等于一。

1.3 部分测量

还有一道我们绕不开的褶皱，因为接下来的协议都仰仗它。如果我们只拥有一个更大系统的一部分——比方说一对纠缠态里的一个量子比特——并且只测它，会怎样？状态不会完全坍缩；它只坍缩到我们测量所及的那个程度，剩下的部分则被留在一个相应更新过的状态里。当只测量一个多量子比特系统的第一个量子比特时：

给定 \(|\psi\rangle = \sqrt{\frac{1}{10}}|00\rangle + \sqrt{\frac{2}{10}}|01\rangle + \sqrt{\frac{3}{10}}|10\rangle + \sqrt{\frac{4}{10}}|11\rangle\)：

• 按第一个量子比特分组：\(|\psi\rangle = \sqrt{\frac{3}{10}}|0\rangle \otimes (\sqrt{\frac{1}{3}}|0\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|1\rangle) + \sqrt{\frac{7}{10}}|1\rangle \otimes (\sqrt{\frac{3}{7}}|0\rangle + \sqrt{\frac{4}{7}}|1\rangle)\)。
• \(Pr(0) = \frac{3}{10}\)；状态变为 \(|0\rangle \otimes (\sqrt{\frac{1}{3}}|0\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|1\rangle)\)。
• \(Pr(1) = \frac{7}{10}\)；状态变为 \(|1\rangle \otimes (\sqrt{\frac{3}{7}}|0\rangle + \sqrt{\frac{4}{7}}|1\rangle)\)。

诀窍纯粹是记账：按你即将测量的那个量子比特的取值把各项分组，把它提出来，剩下的系数（重新归一化之后）恰恰就是另一个量子比特被留下的状态。请抓住这幅图景——测量一对纠缠态的一半，会瞬间塑造另一半。这正是下面两个协议背后的发动机。

2. 超密编码

这是我们的第一份回报，初听之下简直不可能。超密编码让爱丽丝只发送一个量子比特，就向鲍勃传递了两个经典比特，前提是他们共享一对纠缠态（ebit）。一个物理量子比特携带两个比特的经典信息——当然，关窍在于那对纠缠态必须事先就布置好，而爱丽丝偷偷利用的，正是这份预先共享的关联。

流程：

1. 初始状态：爱丽丝和鲍勃共享 \(|\beta_{00}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)\)。
2. 爱丽丝的操作：根据她想发送的比特 \((xy)\)，爱丽丝对她那个量子比特施加一个门：
   • 00：施加 \(I \rightarrow |\beta_{00}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)\)。
   • 01：施加 \(X \rightarrow |\beta_{01}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|10\rangle + |01\rangle)\)。
   • 10：施加 \(Z \rightarrow |\beta_{10}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle - |11\rangle)\)。
   • 11：施加 \(iY\)（或 \(ZX\)）\(\rightarrow |\beta_{11}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle)\)。
3. 传输：爱丽丝把她的量子比特发给鲍勃。
4. 解码：鲍勃在贝尔基下测量两个量子比特，取回 \(xy\)。

看看是什么让它成立的。爱丽丝只用四个门之一碰了碰她自己那个量子比特，就把联合状态导向了四个互相正交的贝尔态之一。由于这四个态在贝尔基测量下能被完美区分，鲍勃——一旦他手握两半——就能读出爱丽丝挑了四个里的哪一个，而这就是足足两个比特。纠缠是信道；她的局域门是消息。

3. 量子隐形传态

隐形传态是反过来的：用两个经典比特和一个 ebit，搬运一个量子态 \(|\psi\rangle\)。如果说超密编码是借一个量子比特送出经典比特，那隐形传态就是借经典比特送出一个量子比特——而且它别无选择，因为一个未知的量子态没法被简单地复制、然后用邮件发过去。那对纠缠态再一次把”不可能”变成了仅仅是”巧妙”。

流程：

1. 准备：爱丽丝有一个处于状态 \(|\psi\rangle = a_0|0\rangle + a_1|1\rangle\) 的量子比特，并与鲍勃共享 \(|\beta_{00}\rangle\)。
2. 爱丽丝的测量：爱丽丝对她的两个量子比特（那个未知态和她那一半 ebit）做一次贝尔测量。
3. 状态转移：总状态可以被改写，使得鲍勃的量子比特处于四个状态之一：\(|\psi\rangle\)、\(X|\psi\rangle\)、\(Z|\psi\rangle\) 或 \(XZ|\psi\rangle\)，具体取决于爱丽丝的结果。
4. 修正：爱丽丝把她的经典结果（2 比特）发给鲍勃。鲍勃施加相应的泡利门（\(Z^a X^b\)），精确地恢复出 \(|\psi\rangle\)。

这正是第 1.3 节那幅部分测量的图景，在此刻全额兑现。爱丽丝的贝尔测量瞬间把鲍勃的量子比特抛进 \(|\psi\rangle\) 的四个版本之一——但她还不知道、而且关键在于他也不知道，到底是哪一个。她寄过去的那两个经典比特，无非是”该撤销哪个泡利修正”的说明书。请注意，这些比特跑得不比光快，所以因果律毫发无损；也请注意，爱丽丝手里那个原件在测量中被销毁了，所以从头到尾什么都没被克隆。状态并没有穿越空间——它是在另一端，按振幅一丝一毫地重建出来的。

4. 量子线路与布洛赫球

测量和这两个头牌协议都到手了，我们来把环闭合：回到第（一）篇出发的地方——那些门——把它们看作一个线路里运转的零件，并以布洛赫球为向导，看清每一个门在物理上究竟做了什么。

4.1 布洛赫球

任何单量子比特态都能表示成布洛赫球上的一个点：

4.2 单量子比特旋转门

我们在第（一）篇里暗示过，每一个单量子比特门都是这个球的某种旋转。在这里，这个承诺被坐实了：旋转门正是绕 \(x\)、\(y\)、\(z\) 轴转过一个角度 \(\theta\) 的旋转。这些门让状态向量绕布洛赫球上的轴旋转：

• \(R_x(\theta) = e^{-i\theta X/2} = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & -i\sin\frac{\theta}{2} \\ -i\sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\)

• \(R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & -\sin\frac{\theta}{2} \\ \sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\)

• \(R_z(\theta) = \begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{i\theta/2} \end{pmatrix}\)

在你或许预期是 \(\theta\) 的地方冒出来的那个 \(\theta/2\) 并不是笔误——它正是自旋 ½ 几何那个标志性的因子二，提醒我们：一个量子比特必须转过 \(720°\)、而不是 \(360°\)，才能完完整整地回到原处。

4.3 多量子比特门

单量子比特旋转永远只是把一个点在它自己的球面上挪来挪去；它们绝无可能关联两个量子比特。要做到这个——也因此要做到纠缠，从而做到第 2、3 节里的一切——我们需要一个能让一个量子比特的值去制约另一个的门。

• CNOT 门：当控制量子比特为 \(|1\rangle\) 时，翻转目标量子比特。
  • \(|0\rangle|\psi\rangle \rightarrow |0\rangle|\psi\rangle\)
  • \(|1\rangle|\psi\rangle \rightarrow |1\rangle X|\psi\rangle\)
• 制造纠缠：一个阿达马门（H）后接一个 CNOT 门，把 \(|00\rangle\) 变成贝尔态 \(|\beta_{00}\rangle\)。

整个系列，就在这一行里收了尾。最后那个配方——先阿达马、再 CNOT——恰恰就是我们在第（一）篇结尾当作 Qiskit 代码跑过的那两步，也恰恰就是上面两个协议里爱丽丝和鲍勃共享的那个 \(|\beta_{00}\rangle\)。阿达马造出叠加；CNOT 把它焊到第二个量子比特上；出来的就是那对纠缠态，它同时驱动着超密编码与隐形传态。我们抽过的每一根线头——可逆性、量子比特、那些门、测量、那些协议——最后都顺着这两个门回到了原点。

我们在第（一）篇开篇时，抱怨说一个寻常的 AND 门在量子计算机里是被禁止的；而我们在收尾时，是一段由两个可逆门组成的线路，凭空召唤出一种根本没有经典对应物的关联。这两个事实之间的那段距离，就是量子计算。这个系列，就停在这里。全篇完。